Grup discret

En matemàtiques, un grup discret G és un grup de topologia discreta. Amb aquesta topologia, G esdevé un grup topològic. Un subgrup discret d'un grup topològic G és un subgrup H la topologia relativa de la qual és discreta. Per exemple, els enters, Z, formen un subgrup discret del nombres reals, R (amb la topologia mètrica estàndard), però els nombres racionals, Q, no el formen.

A qualsevol grup se li pot dotar d'una topologia discreta. Atès que cada mapejat d'un espai discret és continu, els homomorfismes topològics entre grups discrets són exactament els homomorfismes de grup entre els grups subjacents. Per això, hi ha un isomorfisme entre la categoria de grups i la categoria de grups discrets. Així, els grups discrets poden ser identificats amb el seu grup subjacent (no-topològic).

Hi ha ocasions on és útil dotar un grup topològic o grup de Lie amb la topologia discreta 'contra natura'. Això passa per exemple en la teoria de compactificació de Bohr, i en teoria d'homologia de grups de Lie.

Un grup d'isometria discret és un grup d'isometria tal que per a cada punt de l'espai mètric el conjunt d'imatges del punt sota les isometries és un conjunt discret. Un grup de simetria discret és un grup de simetria que és un grup d'isometria discret.